Векторное, скалярное и псевдоскалярное произведение векторов
Скалярное произведение
Скалярное произведение — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.
$$ c = |\overline a||\overline b|\cos(\theta )$$
Обычно для скалярного произведения векторов $\overline a$ и $\overline b$ используется одно из следующих обозначений:
$$ c= (\overline a,\overline b) = \overline a\cdot\overline b$$
Скалярным произведением двух векторов $\overline a$ и $\overline b$ будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов $\overline a$ и $\overline b$.
Для плоскости:
Скалярное произведение векторов $\overline a = (a_x, a_y)$ и $\overline b = (b_x, b_y)$ можно найти воспользовавшись следующей формулой:
$$ \overline a\cdot\overline b = a_x b_x + a_y b_y $$
Для пространства:
Скалярное произведение двух векторов в пространстве $\overline a = (a_x, a_y, a_z)$ и $\overline b = (b_x, b_y, b_z)$ можно найти воспользовавшись следующей формулой:
$$ \overline a\cdot\overline b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$
Векторное произведение
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.
Определение:
Векторным произведением вектора $\overline a$ на вектор $\overline b$ в трёхмерном евклидовом пространстве называется вектор $\overline c$, удовлетворяющий следующим требованиям:
- длина вектора $\overline c$ равна произведению длин векторов $\overline a$ и $\overline c$ на синус угла между ними (т. е. площади параллелограмма, образованного векторами $\overline a$ и $\overline b$
$$ | \overline c| = | \overline a| \cdot | \overline b|\cdot \sin (\theta ),$$ - вектор $\overline c$ ортогонален каждому из векторов $\overline a$ и $\overline b$;
- вектор $\overline c$ направлен так, что тройка векторов $(\overline a,\overline b,\overline c)$ является правой.
Понятие правой и левой тройки векторов:
Совместим начала векторов в одной точке. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(\overline a,\overline b,\overline c)$ в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора $\overline c$ кратчайший поворот от вектора $\overline a$ к вектору $\overline b$ виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.
Название правой и левой тройки пошло от определения направления тройки с помощью руки человека:
Правая тройка. Указательный палец к среднему пальцу двигается против часовой стрелки.
Векторное произведение обозначают:
$$\overline c = \overline a \times \overline b = [\overline a, \overline b]$$
Получение координат вектора $\overline c$:
Если два вектора $\overline a$ и $\overline {b}$ представлены в правом ортонормированном базисе координатами $ \overline a=(a_x,a_y,a_z), \overline b=(b_x,b_y,b_z)$, то их векторное произведение имеет координаты:
$$ \overline a \times\overline b = (a_yb_z - a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x).$$
Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель:
$$\overline a \times\overline b = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}, $$
где $i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)$.
Псевдоскалярное произведение двух векторов
Псевдоскалярным (или косым) произведением векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ на плоскости называют число
$$c = | \overline a| \cdot | \overline b|\cdot \sin (\theta ),$$
где $\theta$ - угол вращения (против часовой стрелки) от $\overline{a}$ к $\overline{b}$. Приставка "псевдо" означает, что объект может менять или не менять знак при отражениях пространства.
Псевдоскалярное произведение обозначают так:
$$c = \overline a \wedge \overline b.$$
Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагают $\overline a \wedge \overline b = 0$.
Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.
С его помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.
Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является смешанное произведение.
Основные свойства:
- Линейность: $\overline a \wedge (\lambda \overline b + \mu\overline c ) = \lambda\overline a\wedge\overline b + \mu\overline a \wedge \overline c$. Где $\lambda, \mu$ - произвольные вещественные числа.
- Антикоммутативность: $\overline a \wedge\overline b = -\overline b\wedge\overline a$.
- Ориентированная площадь треугольника ABC выражается формулой $S = (\overline{AB}\wedge\overline{AC}) / 2$, а его площадь равна модулю этой величины.
- $\overline a \wedge \overline b = 0$ - необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости.
- Пусть заданы вектора $\overline a = (a_1, a_2), \overline b = (b_1, b_2)$. Тогда их псевдоскалярное произведение равно $\overline a \wedge\overline b = a_1b_2 - a_2b_1$.
Использование в геометрических задачах
Пример 1. Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.
Косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому достаточно посчитать косое произведение векторов $\overline{P_1P_2}$ и $\overline{P_1M}$ и по его знаку сделать вывод.
Пример 2. Определить, принадлежит ли точка отрезку.
Пусть точки $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ - концы заданного отрезка. Необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через $P_1, P_2$. Далее нужно определить лежит ли точка между точками $P_1$ и $P_2$. Для этого используем скалярное произведение векторов $\overline{MP_1}, \overline{MP_2}$. Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. $\overline{P_1P_2} \wedge \overline{P_1M} = 0$ – косое произведение (точка лежит на прямой);
2. $(\overline{MP_1}, \overline{MP_2}) ≤ 0$ – скалярное произведение (точка лежит между $P_1$ и $P_2$).
Пример 3. Определить, пересекаются ли две прямые (прямые не совпадают).
Если прямые заданы точками $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), M_1(x_3, y_3), M_2(x_4, y_4)$, то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов $\overline{P_1P_2}$ и $\overline{M_1M_2}$: если оно равно нулю, то прямые параллельны, иначе - пересекаются.
Пример 4. Определить, пересекаются ли два отрезка.
Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:
Необходимо проверить, лежат ли концы каждого из отрезков по разные стороны относительного концов другого отрезка. Применим косое произведение векторов. Посмотрим на первый рисунок: $\overline{P_1P_2}\wedge \overline{P_1M_2} * \overline{P_1P_2}\wedge \overline{P_1M_1} < 0$ и $\overline{M_1M_2}\wedge \overline{M_1P_1} * \overline{M_1M_2}\wedge \overline{M_1P_2} < 0$. Важно обратить внимание на строгое неравенство, потому что возможен случай, при котором произведение равно нулю, но отрезки не пересекаются (отрезки лежат на одной прямой, но не имеют общих точек). Поэтому необходимо проверить, принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому.
Еще примеры:
