Фрактал "Hopalong"

Рассмотрим Аттракторы Мартина, также известные как "Hopalong", своего рода орбитальные фракталы. Такие фракталы представляют собой изображения простой двумерной итерационной системы. Название "Hopalong" происходит от того факта, что такое изображение состоит из точек, прыгающих по эллиптическому пути, начиная с первой точки в центре. Орбиты "Hopalong" были обнаружены Барри Мартином из Астонского университета (Бирмингем, Англия).Дьюдни А. К. представил "Hopalong" в журнале "Scientific American" в 1986 году, а в Германии они стали известны, после публикации в журнале "Spektrum der Wissenschaft".

Фрактал генерируются путем многократного применения математического правила для получения бесконечной последовательности двумерных $(x, y)$ точек. Алгоритм начинает генерировать последовательность в начале координат плоскости, то есть в точке $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Далее применяем математическое правило к последней полученной точке и шаг за шагом генерируем последующие. Пусть последняя созданная точка имеет координаты $(x_n, y_n)$. Говорим, что она была создана после $n$-итерации. Чтобы получить следующую точку, т.е. $(x_n + 1, y_n + 1)$, используем правило:

$x_{n+1}=y_n - sign(x_n)*\sqrt{|b*x_n-c|}$
$y_{n=1}=a-x_n$

где $sign()$ возвращает знак (-1, 1 или, 0). Значения $a$, $b$ и $c$ являются фиксированными для всей последовательности. Форма фрактала в первую очередь зависит от выбора этих переменных.

Направление: