Параметрические кривые являются фундаментальным инструментом в области геометрии и прикладной математики и широко применяются в компьютерной графике. Они используются для описания траекторий частиц, моделирования трехмерных объектов и создания реалистичных визуальных эффектов.

Параметрическая кривая определяется векторной функцией, которая присваивает параметр t каждой точке кривой. Например, кривую на плоскости можно определить как x(t) = f(t) и y(t) = g(t), где x и y являются функциями t.

Прямая

Самое простое параметрическое представление у прямой, проходящей через две точки заданных координатами $(x_1,y_1), (x_2, y_2)$:

$$x(t) = x_1 + (x_2 — x_1)t\\
y(t) = y_1 + (y_2 — y_1)t\\
t \in [0..1]$$

Окружность и эллипс

Параметрическое уравнение эллипса

$$x(t) = R_x \cos t\\
y(t) = R_y \sin t\\
t \in [0..2\pi]$$

где $R_x$ - радиус по X, $R_y$ - радиус по Y.

Если $R_x = R_y$, то получаем окружность

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу - это траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

$$ x(t) = A\sin(at+\delta )\\
y(t) =B\sin(bt) \\
t \in [0..2\pi]$$
где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз.

Гипоциклоиды
Гипоциклоида - это кривая, которая формируется точкой, закрепленной на окружности, "катящейся" внутри другой окружности. Гипоциклоида - обобщающее название множества различных кривых, например, окружность, дельтоида, астроида - это всё гипоциклоиды.

$$ x(t)=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\
y(t)=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)$$

где $k=\frac {R}{r}$, R — радиус неподвижной окружности, r — радиус катящейся окружности.

Астроида

Астроида - это плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем k=4.

$$x(t) = R\cos^3 t\\
y(t) = R\sin^3 t\\
t \in [0..2\pi]$$

Эпициклоиды

Эпициклоида - плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

$$ x(t)=r(k-1)\left(\cos t-{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\
y(t)=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)$$

где $k=\frac {R}{r}$, R — радиус неподвижной окружности, r — радиус катящейся окружности.

Спираль

$$x(t) = t\cos t\\
y(t) = t \sin t\\
t \in [0..18\pi]$$

Четырехлепестковая роза

$$x(t) = \cos t + \cos 3t\\
y(t) = \sin t + \sin 3t\\
t \in [0..2\pi]$$

Сердце

$$x(t) = 8\sin^3t\\
y(t) = 8\cos t - 4\cos 2t -2 \cos 3t- \cos 4t\\
t \in [0..2\pi]$$

Онлайн-построение графиков функций: https://grafikus.ru/