Автор: Куприненко Артем

Одним из самых известных примеров двумерных фракталов является снежинка Коха. Тут мы рассмотрим, как можно перейти от плоской снежинки Коха к её трехмерному аналогу.

Что такое Снежинка Коха?
Снежинка Коха — это фрактал, который строится на основе простой кривой Коха. Процесс её построения состоит из следующих шагов:

• Начинаем с равностороннего треугольника.
• Делим каждую сторону треугольника на три равные части.
• На средней части каждой стороны строим новый равносторонний треугольник, направленный наружу.
• Повторяем шаги 2 и 3 для каждой новой стороны.

С каждым новым шагом (итерацией) структура становится всё более сложной, создавая снежинку Коха (Рис. 1).

Рис. 1. Процесс построения кривой Коха

Существует множество способов построения фрактала: Снежинка Коха, Антиснежинка Коха, квадратичная кривая, колбаса Минковского, остров Минковского. Каждый из данных примеров иллюстрирует способы построения кривых и каждый из этих способов можно использовать для реализации построения в трехмерной версии.

Рассмотрим Антиснежинку Коха.
Её суть заключается в построение Снежинки Коха, но в другом направлении, во внутрь.

Рис. 2. Антиснежинка Коха

Рассмотрим Фрактал Чезаро.
Этот фрактал строиться путем рекурсивного удаления клиньев из треугольников.

• Начнем с равностороннего треугольника.
• На каждой итерации мы делим каждый треугольник на четыре меньших треугольника, удаляя центральный клинь.

Рис. 3. Фрактал Чезаро

Квадратичная кривая.
Квадратичная кривая строиться похожим путем как и обычная Снежинка Коха. Различия лишь в том, что вместо построения равностороннего треугольника, строиться квадрат.

Рис. 4. Построение квадратичной кривой

Рис. 5. Квадратичная кривая

Колбаса Минковского
Эта кривая похожа на квадратичную кривую, но имеет и различия.

• Делим прямую на 4 части
• Заменяем 2 и 3 части на квадраты, однако каждый квадрат строиться противоположно (один внутрь, другой наружу)

Рис. 6. Колбаса Минковского

Остров Минковского
Остров Минковского сохраняет в себе алгоритм построения "Колбаса Минковского", но уже применяется к каждой стороне квадрата. Где квадрат это изначальная фигура.

Рис. 7. Остров Минковского

Переход в Третье Измерение
Чтобы построить трехмерную версию снежинки Коха, нужно немного изменить алгоритм и использовать базовые трехмерные фигуры. Один из способов создания трехмерного аналога — это использование тетраэдров.

Для разделения грани тетраэдра на четыре равных треугольника используется аналогичный способ, как и для 2-мерной фигуры (кривой Коха), только применяется к каждой грани тетраэдра:

• Начнем с одной из граней тетраэдра, которая представляет собой равносторонний треугольник.
• Каждую сторону этого треугольника делим на три равные части.
• Заменим середину на равносторонний треугольник.
• Теперь проделаем то же самое с получившимися новыми гранями.

Таким образом, каждую грань тетраэдра мы разделили на множество маленьких равносторонних треугольников, что создает более сложную фрактальную структуру (Рис. 8). Этот процесс можно продолжать на каждой итерации, делая грани всё более детализированными.

Рис. 8. Третья итерация Снежинки Коха в 3D

Рассмотрим антиснежинку Коха
Построение этого фрактала схоже с построением обычной снежинкой Коха.
И используется такой же алгоритм, но с одним отличием, треугольник строиться внутрь фигуры (Рис. 9).

• Начнем с одной из граней тетраэдра, которая представляет собой равносторонний треугольник.
• Каждую сторону этого треугольника делим на три равные части.
• Заменим середину на равносторонний треугольник.
• Теперь проделаем то же самое с получившимися новыми гранями.

Рис. 9. Третья итерация Антиснежинки Коха в 3D

Поверхностный фон Коха
Поверхностный фон Коха — это пример фрактала, который демонстрирует самоподобие и сложность, возникающие из простых правил построения.
Фрактал Коха строится с помощью рекурсивного процесса, при котором каждая линия заменяется на четыре новых отрезка, образующих "шип".
Этот процесс повторяется для каждого нового отрезка бесконечное число раз или до достижения определённого условия остановки (Рис. 10).

Рис. 10. Поверхностный фон Коха

На рисунке 11 и рисунке 12 изображены квадратичные поверхности Коха первого и второго типа соответственно.

Рис. 11. Квадратичная поверхность Коха (тип 1)

Рис. 12. Квадратичная поверхность Коха (тип 2)