Кривая Минковского

Кривая, а точнее, «криволинейная салфетка» или «колбаса» Минковского, была впервые представлена немецким математиком Германом Минковским (тем самым, создателем геометрической основы теории относительности) около 1904 года. Она является одним из ранних примеров квазифракталов – объектов, демонстрирующих самоподобие и парадоксальные свойства до введения самого термина «фрактал».

Как по шагам строится кривая Минковского

Итерация 0 : Начинаем с единичного отрезка прямой.
Итерация 1 : Берем наш отрезок и мысленно делим его на 4 равные части, удаляем среднюю четверть этого отрезка.
На место удаленного фрагмента ставим "скобку" или "пик" из 8 равных отрезков, как показано на рисунке .Эта "скобка" состоит из:
Двух вертикальных отрезков, двух горизонтальных отрезков, четырех диагональных отрезков
Все 8 новых отрезков имеют одинаковую длину, равную 1/4 от исходного отрезка.
Демонстрационный ролик получения кривой Минковского

Кривая Пеано

В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано потряс математический мир, описав непрерывную кривую, которая проходит через каждую точку единичного квадрата. Это открытие было революционным, так как разрушало интуитивное представление о размерности: казалось невозможным, чтобы одномерная линия могла полностью заполнить двумерную площадь. Год спустя Давид Гильберт предложил более наглядную версию, но приоритет остался за Пеано.

Как по шагам строится кривая Пеано

Для ее построения данный квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Уберем внутренние стороны квадратов и из четырех их копий составим фигуру:

Снова уберем внутренние стороны квадратов и соединим тремя отрезками концы ломаных:

Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.

Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата.
Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата, т.е. она будет полностью заполнять весь исходный квадрат. Конечно, она будет иметь бесконечную длину.

Множество Кантора

Множество Кантора было описано немецким математиком Георгом Кантором в 1883 году. Это первый исторически известный фрактал, появившийся задолго до введения самого термина "фрактал". Кантор изучал его как пример совершенного множества, которое нигде не плотно, но имеет мощность континуума.


Основная идея:
Мы начинаем с отрезка и последовательно удаляем из него средние части, оставляя только концы.

1. Начинаем с отрезка [0,1] .
2. На первом шаге удаляем открытую среднюю треть (1/3, 2/3) . Остаются два отрезка: [0,1/3] и [2/3,1] .
3. На втором шаге удаляем средние трети оставшихся отрезков. То есть вырезаем интервалы (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9). Теперь остаются четыре небольших отрезка: [0, 1/9], [2/9, 1/3] , [2/3, 7/9] и [8/9,1].
4. Продолжаем этот процесс бесконечно. На каждом шаге удаляются средние трети всех оставшихся отрезков предыдущего шага.

После бесконечного числа шагов остаётся несчётное множество точек (канторово множество C), распределённых по исходному отрезку. Интуитивно понятно, что точек бесконечно много (например, все концы вырезанных отрезков остаются), однако суммарная длина всех оставшихся отрезков стремится к нулю. Формально, множество Кантора имеет нулевую меру длины, хотя и содержит континуум точек. Его часто приводят как парадоксальный пример: множество без «длины», но не пустое и даже несчётное.